¿Por qué sólo hay cinco poliedros regulares?

 
Lo primero que hay que definir es qué es un poliedro regular. Llamamos así a aquellos poliedros (figuras volumétricas formadas por caras poligonales) en las que todas las caras son un mismo polígono regular (triángulo equilátero, cuadrado, pentágono, ...). Teniendo en cuenta esta definición, sólo existen cinco posibilidades. ¿Por qué? La respuesta está en la construcción de los vértices.
En un vértice de un poliedro regular confluyen un número fijo de caras poligonales y estas han de ser tres como mínimo porque si son sólo dos, en lugar de un vértice lo que se origina es una arista. Pero también hay un máximo de caras posibles, pero este número depende del polígono
Vamos a estudiar primero el caso de caras triangulares. Para formar un vértice con tres caras, podríamos poner tres triángulos en un papel de la siguiente manera:

Para poder cerrar el vértice, además de los pliegues correspondientes, bastará con unir los dos lados rojos, de manera que “se levante” el vértice.
Lo mismo ocurre para vértices de cuatro y cinco triángulos

Pero si queremos hacer un vértice con seis triángulos no podemos porque se completa todo el plano no quedando hueco para unir

Por lo tanto en un vértice sólo pueden confluir tres, cuatro o cinco triángulos equiláteros.
Si lo que utilizamos son cuadrados, en un vértice sólo pueden confluir tres, porque si cogemos cuatro nos pasa lo mismo que con los seis triángulos, que se completa el plano y no queda hueco para unir y que se levante el vértice.

Y si lo que usamos son pentágonos, podemos todavía hacer confluir tres (queda un pequeño hueco) pero evidentemente nunca cuatro porque se montaría encima del primero.

Pero si lo que usamos son hexágonos, tres de ellos ya completan el plano y no dejan hueco para juntar y levantar el vértice.

Obviamente tampoco se pueden hacer vértices con polígonos de más lados porque ya se montan unos encima de otros.
En resumen, que sólo se pueden hacer construcciones en las que confluyan en el vértice 3, 4 o 5 triángulos equiláteros (tetraedro, octaedro e icosaedro), 3 cuadrados (cubo) o 3 pentágonos (dodecaedro). Y si alguien piensa que el dibujo le engaña, puede hacer una cuenta que confirme lo dicho. Para que se pueda hacer el vértice, la suma de los ángulos interiores de los poliedros que confluyen debe ser menor de 360º para que nos quede un pequeño hueco para unir y que se levante el vértice. Si haces las cuentas, verás que los únicos casos en que ocurre son los cinco mencionados.